2019年1月から、e-Taxにおけるセキュリティが厳しくなり、個人についてはメッセージボックスの閲覧時には電子証明書の認証が必要となりました。
この件に関連してか、e-Taxソフト（WEB版）やブラウザ上のメッセージボックスの閲覧時における電子証明書の認証でエラーが発生する事象を筆者環境下で確認しています。その解決方法がわかったので、メモ代わりに載せておきます。
エラーの発生条件
「Internet Explorer 11」を利用して、
- e-Taxソフト（WEB版）
- メッセージボックスの確認（受付システムへのログイン）
の利用時に、ICカードを利用して電子証明書を認証する場合に発生するエラーです。（なお、「確定申告書等作成コーナー」における認証では、この問題は発生しませんでした）
このとき、「想定しないエラーが発生しました」というエラーメッセージが表示され、電子証明書を認証できません。
（メッセージボックスの場合のエラー表示）
（e-TaxソフトWEB版のエラー表示）
このエラー表示で案内される国税庁ヘルプ「「想定しないエラーが発生しました。・・・」のメッセージが表示されました。どうすればいいですか。」を読むかぎりでは、事前準備セットアップの再インストールを案内されます。
しかし、これでも解決できない場合は、そもそも別の点が問題になっているかもしれません。
解決方法
e-Taxソフト（WEB版）のページを表示したのち、「Internet Explorer 11」のメニュータブから、「ツール（T)」＞「インターネットオプション（O)」を開きます。そして、タブを「セキュリティ」に切り替えます。
上記のエラーが発生する場合では、国税庁e-Taxホームページにおけるゾーンのセキュリティレベルが「中高」やカスタム設定になっているものと思われます。これを「中」に引き下げて、ブラウザを再起動します。（カスタム設定になっている場合は、右下の「既定のレベル」ボタンをクリックすると設定可能になります）
おそらくこれで、うまく認証できるようになるでしょう。ただし、具体的に何が影響しているのかは不明です。
（IE11におけるセキュリティレベル「中高」と「中」の違いは、こちらの「IE11 セキュリティレベル「中高 / 中」の変更内容 」（Studio TA Subsite ）を参照）
国税庁e-Taxサイトでは未案内のトラブル事例のようですが、とりあえず上記の方法で解決できそうなことがわかりましたので、現行で可能な対処方法のヒントとして掲載しました。（この事象と解決方法は国税庁e-Tax担当に報告済みです）
筆者自身、2018年まではe-Taxソフト（WEB版）で電子証明書を認証する機会はめったにありませんでしたので、このトラブルは少々とまどいを感じました。
もし似たような問題に直面した方の参考になれば幸いです。
追記
「確定申告書等作成コーナー」のヘルプにおいて、「Internet Explorer11でe-Taxを利用する際のブラウザのセキュリティレベル」という案内があり、セキュリティレベルを「中」に引き下げるように案内されていることがわかりました。しかし、e-Taxソフト（WEB版）のヘルプには同様の記載は見当たりません。